Montrer que si \((p_n)_{n\in{\Bbb N}^*}\) est une suite dans \([0,1]\) telle que \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } np_n=\lambda\in\;]0,+\infty[\),
Alors $$\forall k\in{\Bbb N},\qquad\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }{{\binom nk p_n^k(1-p_n)^{n-k} }}={{\frac{\lambda^k}{e^\lambda k!} }}$$ autrement dit, $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } P(X_n=k)=P(Y=k)$$ si pour chaque \(n\), \(X_n\sim\mathcal{Bin}(n,p_n)\) et \(Y\sim\mathcal{Pois}(\lambda)\)
(théorème de convergence des binomiales vers les Poisson)

Séparation des termes
Pour \(k\in{\Bbb N}\) fixé, $$\binom nkp_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{\color{yellow} n!}{\color{red} k!\color{yellow}(n-k)!}\frac{\color{red}(np_n)^k}{\color{lime} n^k}\color{silver}\frac{(1-p_n)^n}{(1-p_n)^k}$$

Réassemblage
$$=\color{red}\frac{(np_n)^k}{k!}\color{yellow}\prod_{j=0}^{k-1}\frac{n-j}{\color{lime} n}\color{silver} e^{n\overbrace{\ln(1-p_n)}^{\sim-p_n}}\underbrace{\frac1{(1-p_n)^k}}_{{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1\text{ car }\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } p_n=0}$$

Passage à la limite

$${\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\color{red}\frac{\lambda^k}{k!}\color{silver} e^{-\lambda}$$